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高数笔记

2022年8月12日笔记

学习笔记: 空间几何与向量代数、多元函数微分学、重积分

一、空间几何与向量代数

  • 分清八个卦限 （略）
  • 空间两点距离公式: d = $\sqrt{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2}$
向量
  • 向量的长度称为模。向量 $\vec{AB}$ 的模为 $\mid \vec{AB} \mid $ 或 $\mid\vec{\alpha}\mid$
  • 单位向量：若$\mid\vec{\alpha}\mid$ = 1，则 $\alpha$ 为单位向量
  • 零向量：若$\mid\vec{\alpha}\mid$ = 0，则 $\alpha$ 为零向量，方向看作任意的
  • 向量平行：两个向量不看长度，方向相同或相反。
  • 向量相等：两个向量的长度和方向都相同。
向量计算
  • 向量加法：参考书中平行四边形
  • 数量积：两个向量的模与其夹角的余弦值之积
    • 公式：$\alpha \cdot \beta$ = $\mid\alpha\mid \cdot \mid\beta\mid \cos\theta$
    • 坐标公示：$\alpha \cdot \beta$ = $\alpha_x \cdot \beta_x + \alpha_y \cdot \beta_y + \alpha_z \cdot \beta_z$
    • 注意数量积符号是 $\cdot$ 而不是 $\times$
    • 向量垂直，数量积为0
平面方程
  • 方程：平面过点$(x,y,z)$，其法向量为 $n = {A, B, C}， 则Ax + By + Cz + D = 0$
  • 变形：过两个点，一个法向量：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) + D = 0$
  • 点到平面距离 $d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
  • 当D=0时，表示过原点的平面
  • 当A=0时，表示平行于x轴的平面
直线方程
  • 直线过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ ，方向向量为$n = {A, B, C}$
  • 对称式方程：$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$
二次曲面
习题
  • 判断点$(-1,2,-5)$所在卦限
  • 点$(1,-3,2)$关于x轴对称的点。 （x坐标不变，其余坐标取相反数。(1,3,-2)）
  • 向量 $\alpha = {3,2,\frac{1}{2} }, \beta = {-1,1,0}$，则 $2\alpha \cdot \beta$ =
  • 两个向量的标${8,-4,1}、{2,2,1}$，求两个向量的夹角。 （套用两个数量积公式, 1/3）
  • 点$(2,3,7)$到平面 $2x+2y-z+6=0$ 的距离。（得出法向量{2,2,-1}，套用公式）

二、多元函数微分学

符号含义
  • 导数符号 $d$
  • 偏导数符号 $\partial$
  • 定义域 D
二重极限
  • 若函数$f$无限接近点$P(x_0,y_0)$时，值无限接近常数$A$， 即 $\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$，则$A$是$f$在点$P$处的二重极限。（极限值常数$A$与函数$f$在点$P$处是否有定义无关，只与该点的邻域有关。）
  • 重要极限
    1. $ lim\frac{sin t}{t} = 1$
偏导数
  • 说明：若$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{ \Delta x }$ 存在，此极限值为函数 $f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 处关于自变量 $x$ 的偏导数。 （反应函数$f$在点$P$处沿$x$轴的变化率）
  • 个人理解：像物理里的加速度，在于变化率。
    • 一辆车要拐弯，形成的曲线，不能是个V, 而是个U，在U中的低谷点偏导数就是0。
  • 写法：
    • 函数$z=f(x,y)$关于x轴的偏导数写为 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 或 $z_x$ 。
    • 函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处关于x轴的偏导数：$z_x(x_0,y_0)$ 或 $f_x(x_0,y_0)$
  • 注意 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 应该看作一个整体，分子分母不具有独立的意义。（不同于导数 $\frac{d f}{d x}$ 分子分母有独立的意义）
  • 例1：$f=x9+y2$，求 $f_y(2,1)$。
    • 关于$y$的导数，就把$x$看作常数，直接求导。
    • $f_y(2,1)=2y=2$
  • 例2: $f=(y-1)\arctan(x2+y3) + x^2y$，求 $f_x(2,1)$
    • 如果用例1的方式很麻烦，理解二元函数偏导数的本质是先转为一元函数求导。
    • 关于$x$的导数，先把$y=1$带入，再求导。
    • $f'=2x$，再把$x=2$带入，得到 $f_x(2,1) = 4$
复合函数偏导数
  • 例1: 求$u=\sqrt{x2+y2+z^2}$的偏导数
    • 将 $x2+y2+z^2$ 看作 $v$，则 $u_x = u_v \cdot v_x $。
    • $ u_x = \frac{1}{2\sqrt{x2+y2+z^2}} \cdot 2x = \frac{x}{u}$， 同理 $u_y = \frac{y}{u}$，$u_z = \frac{z}{u}$
高阶偏导数
  • 关于x的二阶偏导数：$\frac{\partial}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$ ，写作 $\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} $ 或 $f_{xx}(x,y)$ 或 $z_{xx}$
  • 偏x偏y：$\frac{\partial ^2 z}{\partial x \partial y}$ 或 $f_{xy}(x,y)$ 或 $z_{xy}$
全微分
  • 的
隐函数的偏导数
  • 二元函数 $F(x,y)$ 隐函数 $y_0=f(x_0)$，则有公式：$\frac{d_y}{d_x} = -\frac{F_x}{F_y}$
  • 三元函数 $F(x,y,z)$ 隐函数 $z_0=f(x_0,y_0)$，则有公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
  • 例1：$x2+y2=R^2$,求隐函数的$y=f(x)$确定的导数$\frac{d_y}{d_x}$
    • 令$F(x,y)=x2+y2-R^2$ 。（这里使用大F)
    • $\frac{d_y}{d_x} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{x}{y} $
  • 例2:
多元函数的极值和最值

  • 极值：极大值和极小值，对应的点叫做极值点。

    • 极值是一个局部性的概念，不一定是最值，极大值不一定比极小值大。
    • 极值一定是内点，不是边界点。
    • 极值点可能偏导数不存在，举例V。

  • 驻点：函数$z$，存在点 $z_x=0,z_y=0$，称为驻点。

    • 驻点不一定偏导数存在，举例V。
    • 驻点不一定是极值点，

  • 用函数$z=f(x,y)$的驻点找极值点

    • 找驻点，令$z_x=0, z_y=0$，此时能得到几个驻点坐标
    • 二阶偏导，$A=z_{xx}$,   $B=z_{xy}$,   $C=z_{yy}$
    • 根据$\Delta = B^2-AC $，把几个驻点分别带入
      • 若$\Delta > 0$，不是极值点
      • 若$\Delta < 0 且 A < 0$，是极大值点。
      • 若$\Delta < 0 且 A > 0$，是极小值点。

  • 例：求$f(x,y)=x3-y3-3x^2+27y$的极值。

    • 找驻点。令$f_x(x,y)=0$,  $f_y(x,y)=0$，
    • 计算$f_x(x,y)=3x^2-6x = 0, f_y(x,y)= -3y^2+27 = 0$
    • 得到$x(x-2)=0,(3-y)(3+y)=0$，得到四个驻点：$(0,-3),(0,3),(2,-3),(2,3)$
    • 计算二阶偏导数。$A=6x-6$,   $B=0$,   $C=-6y$
    • 根据定理：$\Delta = B^2-AC $，分别带入四个驻点列出
    • 则$(0,3)$是极大值点，$(2,-3)$是极小值点。

  • 例题：

    • $\lim\limits_{x \to 0, y \to 0} \frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}$ , 解析：设$xy=u$, 答案：$-1/4$

三、重积分

二重积分
  • 定积分符号 $\int$，二重积分符号 $\iint$，西格玛 $\sigma$
  • 二重积分公式：$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$
    • 其中D是积分区域， $f(x,y)$叫做被积函数，$x,y$叫做积分变量，$d\sigma$叫面积元素
    • 二重积分的几何意义是被积区域的面积
  • 性质：
    1. 常数可以提到积分外。$\iint\limits_D k f(x,y)d\sigma = k \iint\limits_D f(x,y)d\sigma$
    2. 函数和或差的积分，等于积分的和或差。$\iint\limits_D [f(x,y) \pm g(x,y)]d\sigma = \iint\limits_D f(x,y)d\sigma \pm \iint\limits_D g(x,y)d\sigma$
    3. 区域可加性。$D=D_1+D_2$，则$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma = \iint\limits_{D_1} f(x,y)d\sigma + \iint\limits_{D_2} f(x,y)d\sigma$
    4. 单调性。若 $f(x,y)>g(x,y)$，则$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma > \iint\limits_D g(x,y)d\sigma$
    5. 若$f(x,y)\geq0$, 则$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma \geq 0$
    6. 若在$D$上$a<f(x,y)<b$，则 $ a|D| < \iint\limits_D f(x,y)d\sigma < b|D|$， ($|D|$为$D$的面积)
    7. 当$f(x,y)=1$时，$\iint\limits_D 1d\sigma = |D|$
直角坐标下的二重积分
  • 一般计算方式：
    • 若D可以用不等式 $a \leq x \leq b, \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x) $ , 则 $\iint\limits_Df(x,y)d_xd_y = \int_a^b d_x \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) d_y $，此为X型区域，从下边界到上边界。
    • 若D可以用不等式 $c \leq y \leq d, \phi_1(y) \leq x \leq \phi_2(y) $ , 则 $\iint\limits_Df(x,y) d_x d_y = \int_c^d d_y \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) d_x $，此为Y型区域，从左边界到右边界。
    • 例：求二重积分$\iint\limits_D xy d_x d_y$，其中D是 $y=x^2$和$y=x$围成的区域。（1/24）
  • 奇偶性计算方式
    • 若被积函数$f(x,y)$是关于$x$的奇函数，对于任何$y$都有$f(-x,y)=-f(x,y)$，则二重积分$\iint\limits_D f(x,y)dxdy = 0$
    • 若被积函数$f(x,y)$是关于$x$的偶函数，对于任何$y$都有$f(-x,y)=-f(x,y)$，则二重积分$\iint\limits_D f(x,y)dxdy = 2\iint\limits_{D左} f(x,y)dxdy = 2\iint\limits_{D右} f(x,y)dxdy$
极坐标下的二重积分
三重积分
  • 公式：$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)d\nu $
    • 三重积分的几何意义是被积区域的体积
  • 例：计算三重积分 $ I = \iiint\limits_\Omega xd_xd_yd_z $ ，其中$\Omega$是由三个坐标面及平面$x + 2y + z = 1$围成。 （1/48）*